Préparation IP2

Bonjour,

J'ai plusieurs questions sur l'exercice 4...
Pour le lemme 1, je suis arrivée à prouver que si p est congru a 0;3 ou 6 modulo 9, p est congru a 0 modulo 3 mais je n'arrive pas à faire la réciproque.
Ensuite au lemme 3, j'arrive pas non plus à faire la réciproque, j'ai 3x^2 congru a 0(3) mais j'arrive pas à prouver que 3x^2congru à 0(9).
Apres a la question 1 je comprends pas la phrase "Determiner pour quels entiers naturels b, le resultat permet d'affirmer que (Eb) est sans solution entière"
Voilà j y arrive vraiment pas à cet exo même aux questions suivantes en fait...

Exercice 4 Lemme 1.
On a un modèle c'est le DM, Pb quand on démontre n pair, c'est à dire n congru à 0 modulo 2 entraine n congru à 0, 2, 4 ou 6 modulo 8.
On part de n = 2k et on dit que soit k = 4p, soit k =4p +1 soit k = 4p + 2 et enfin soit k = 4p + 3 ; en fait on écrit les quatre cas de congruences modulo 4 pour k et on tombe sur des congruences modulo 8.
Ici on part de p = 3k et on va distinguer les trois cas possibles d'écriture de k modulo 3. Ce qui donnera les trois résultats modulo 9.
A noter que l'on a un autre modèle dans le DM quand on démontre n multiple de 4, (n = 4k) alors n congru à 0 ou 4 modulo 8. (Dans ce cas on écrit les deux cas modulo 2 pour k, soit k pair ou impair)

Pour ce qui est du lemme 3, il faut utiliser le tableau de congruences etudiée dans le lemme 2. On trouve pour 3n² deux restes possibles 0 ou 3. Le reste 0 se produit trois fois lorsque n congru à 0, 3 ou 6 modulo 9 et donc on peut conclure en utilisant le lemme 1.
Si c'est la réciproque qui te pose problème, car j'ai du mal à comprendre dans quel sens tu n'arrives pas, c'est trivial. Si x congru à 0 modulo 3, alors x = 3k et donc 3x² = 27k² qui est évidemment un multiple de 9.

Pour la suite, en utilisant le tableau du lemme 2, tu trouves pour y² quatre restes possibles et pour 3x² deux restes possibles. Ce qui conduit à réaliser un tableau à double entrée pour les restes possibles de 3x² + y² qui devrait conduire à 8 cas. Mais parmi ceux-ci plusieurs donnent le même reste. En fait on tombe sur cinq restes possibles pour 3x² + y².
Et donc si b est un entier qui n'est pas congru modulo 9 à l'un de ces restes, l'équation n'aura pas de solution.
Il est impératif de travailler le corrigé du Pb 2 du DM 2 pour pouvoir comprendre parfaitement cet exercice.
Mais tu peux bien sur encore me poser des questions précises!